Thừa Đạm An sinh năm 1899 tại Giang Âm, tỉnh Giang Tô.[2] Ông bắt đầu quan tâm đến châm cứu lần đầu tiên vào năm 1923, sau khi bị đau lưng dữ dội và được chữa khỏi nhờ vào việc châm cứu của cha mình.[3] Ông theo học trường Châm cứu Tokyo ở Nhật Bản,[3] trước khi thành lập trường châm cứu đầu tiên ở Trung Quốc cận đại.[4][1] Trung tâm Nghiên cứu Châm cứu Trung Quốc (中国针灸研究社) có trụ sở tại Giang Tô mở cửa từ năm 1930 cho đến khi xảy ra Chiến tranh Trung–Nhật lần thứ hai vào năm 1937,[5] thời điểm đó trường được đổi tên thành Đại học Chuyên môn Châm cứu Trung Quốc (中國針灸專門學校), ngụ ý rằng bằng cấp của trường đã được nhà nước công nhận.[6] Trường tự xuất bản và sản xuất riêng nhiều tác phẩm liên quan đến châm cứu, nhiều tác phẩm trong số đó là của Thừa Đạm An.[5] Ông cũng bắt đầu viết tập san châm cứu đầu tiên, Châm cứu tạp chí (針灸雜誌), vào năm 1933.[7]

Trong chiến tranh, Thừa Đạm An bỏ trốn đến Trùng Khánh. Ông trở lại Giang Tô vào năm 1947 và phát hiện trường châm cứu của mình bị phá hủy;[6] trường thành lập lại vào năm 1951 tại Tô Châu.[5] Năm 1954, ông là đại biểu Đại hội nhân dân tỉnh và trưởng Đại hội Y khoa tỉnh Giang Tô.[6] Cùng năm đó, ông được bổ nhiệm làm giám đốc của một trường học có trụ sở tại Nam Kinh sau này đặt tên là Trường Cao đẳng Y học Trung Quốc Giang Tô.[6] Năm 1955, ông được bầu vào Viện Khoa học Trung Quốc và được bổ nhiệm làm phó chủ tịch Hiệp hội Y khoa Trung Quốc sau đó là chủ tịch.[6][8] Thừa Đạm An có sức khỏe yếu trong những năm cuối đời; ông qua đời vì một cơn đau tim vào ngày 10 tháng 7 năm 1957 tại Tô Châu ở tuổi 59.[9]